0786：第 K 个最小的质数分数（2168 分）

力扣第 786 题

题目

给你一个按递增顺序排序的数组 arr 和一个整数 k 。数组 arr 由 1 和若干 质数 组成，且其中所有整数互不相同。

对于每对满足 0 <= i < j < arr.length 的 i 和 j ，可以得到分数 arr[i] / arr[j] 。

那么第 k 个最小的分数是多少呢? 以长度为 2 的整数数组返回你的答案, 这里 answer[0] == arr[i] 且 answer[1] == arr[j] 。

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,5], k = 3
输出：[2,5]
解释：已构造好的分数,排序后如下所示:
1/5, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3
很明显第三个最小的分数是 2/5

示例 2：

输入：arr = [1,7], k = 1
输出：[1,7]

提示：

• 2 <= arr.length <= 1000
• 1 <= arr[i] <= 3 * 104
• arr[0] == 1
• arr[i] 是一个 质数 ，i > 0
• arr 中的所有数字 互不相同 ，且按 严格递增 排序
• 1 <= k <= arr.length * (arr.length - 1) / 2

进阶：你可以设计并实现时间复杂度小于 O(n2) 的算法解决此问题吗？

相似问题：

• 0378：有序矩阵中第 K 小的元素
• 0668：乘法表中第k小的数
• 0719：找出第 K 小的数对距离

分析

#1

显然固定 i，分数随 j 增大而递减。所以按 i 将分数分为 n-1 个列表，反向归并排序取第 k 项即可。 类似 0378。

1
2
3
4
5
6
7
8

def kthSmallestPrimeFraction(self, arr: List[int], k: int) -> List[int]:
	n = len(arr)
	pq = [(arr[i]/arr[-1], i, n-1) for i in range(min(n-1, k))]
	for _ in range(k-1):
		_, i, j = heappop(pq)
		if j-1 > i:
			heappush(pq, (arr[i]/arr[j-1], i, j-1))
	return [arr[pq[0][1]], arr[pq[0][2]]]

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#2

类似 0378，也可以用二分查找。

解答