1916：统计为蚁群构筑房间的不同顺序（2486 分）

力扣第 247 场周赛第 4 题

题目

你是一只蚂蚁，负责为蚁群构筑 n 间编号从 0 到 n-1 的新房间。给你一个 下标从 0 开始 且长度为 n 的整数数组 prevRoom 作为扩建计划。其中，prevRoom[i] 表示在构筑房间 i 之前，你必须先构筑房间 prevRoom[i] ，并且这两个房间必须 直接 相连。房间 0 已经构筑完成，所以 prevRoom[0] = -1 。扩建计划中还有一条硬性要求，在完成所有房间的构筑之后，从房间 0 可以访问到每个房间。

你一次只能构筑 一个 房间。你可以在 已经构筑好的 房间之间自由穿行，只要这些房间是 相连的 。如果房间 prevRoom[i] 已经构筑完成，那么你就可以构筑房间 i。

返回你构筑所有房间的 不同顺序的数目 。由于答案可能很大，请返回对 109 + 7 取余 的结果。

示例 1：

输入：prevRoom = [-1,0,1]
输出：1
解释：仅有一种方案可以完成所有房间的构筑：0 → 1 → 2

示例 2：

输入：prevRoom = [-1,0,0,1,2]
输出：6
解释：
有 6 种不同顺序：
0 → 1 → 3 → 2 → 4
0 → 2 → 4 → 1 → 3
0 → 1 → 2 → 3 → 4
0 → 1 → 2 → 4 → 3
0 → 2 → 1 → 3 → 4
0 → 2 → 1 → 4 → 3

提示：

• n == prevRoom.length
• 2 <= n <= 105
• prevRoom[0] == -1
• 对于所有的 1 <= i < n ，都有 0 <= prevRoom[i] < n
• 题目保证所有房间都构筑完成后，从房间 0 可以访问到每个房间

分析

将 <prevRoom[i],i> 看作一条边，显然构成一棵根节点 0 的树。那么可以考虑递归。

令 dfs(u) 代表以 u 为根的树的方案数，那么除了子树自身的方案数的乘积以外，还要考虑子树之间的先后顺序。

假设子树 v1、v2、… 的节点数分别为 s1、s2、…，子树之间的先后顺序相当于求 s1 个 1、s2 个 2、… 的排列数， 根据排列组合的知识即可求解。

注意本题数很大，必须边乘除边求模，因此要用到乘法逆元

解答

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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def waysToBuildRooms(self, prevRoom: List[int]) -> int:
    def dfs(u):
        res, s = 1, 0
        for v in nxt[u]:
            a, b = dfs(v)
            s += b
            res = res*a*inv[b]%mod
        return res*fac[s]%mod, s+1

    n = len(prevRoom)
    nxt = defaultdict(list)
    for v, u in enumerate(prevRoom):
        nxt[u].append(v)
    fac, inv, mod = [1]*n, [1]*n, 10**9+7
    for i in range(1, n):
        fac[i] = fac[i-1]*i%mod
        inv[i] = pow(fac[i], mod-2, mod)
    return dfs(0)[0]

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