1823：找出游戏的获胜者（1412 分）

力扣第 236 场周赛第 2 题

题目

共有 n 名小伙伴一起做游戏。小伙伴们围成一圈，按 顺时针顺序 从 1 到 n 编号。确切地说，从第 i 名小伙伴顺时针移动一位会到达第 (i+1) 名小伙伴的位置，其中 1 <= i < n ，从第 n 名小伙伴顺时针移动一位会回到第 1 名小伙伴的位置。

游戏遵循如下规则：

1. 从第 1 名小伙伴所在位置 开始 。
2. 沿着顺时针方向数 k 名小伙伴，计数时需要 包含 起始时的那位小伙伴。逐个绕圈进行计数，一些小伙伴可能会被数过不止一次。
3. 你数到的最后一名小伙伴需要离开圈子，并视作输掉游戏。
4. 如果圈子中仍然有不止一名小伙伴，从刚刚输掉的小伙伴的 顺时针下一位 小伙伴 开始，回到步骤 2 继续执行。
5. 否则，圈子中最后一名小伙伴赢得游戏。

给你参与游戏的小伙伴总数 n ，和一个整数 k ，返回游戏的获胜者。

示例 1：

输入：n = 5, k = 2
输出：3
解释：游戏运行步骤如下：
1) 从小伙伴 1 开始。
2) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 1 和 2 。
3) 小伙伴 2 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
4) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 4 。
5) 小伙伴 4 离开圈子。下一次从小伙伴 5 开始。
6) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 5 和 1 。
7) 小伙伴 1 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
8) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 5 。
9) 小伙伴 5 离开圈子。只剩下小伙伴 3 。所以小伙伴 3 是游戏的获胜者。

示例 2：

输入：n = 6, k = 5
输出：1
解释：小伙伴离开圈子的顺序：5、4、6、2、3 。小伙伴 1 是游戏的获胜者。

提示：

• 1 <= k <= n <= 500

进阶：你能否使用线性时间复杂度和常数空间复杂度解决此问题？

分析

#1

经典的约瑟夫环问题。

方便起见，编号变为从 0 到 n-1，显然问题等价。

令 help(n) 代表 n 个人玩游戏的获胜者编号。第一轮后，相当于从编号 k 开始的 n-1 名小伙伴玩游戏，这是一个递归子问题。 设 help(n-1) 的获胜者编号为 x，那么 help(n) 的获胜者相当于从 k 开始的第 x 个，编号即为 (k+x)%n。

最简单的子问题即是 n=1 时，显然获胜者编号为 0。

最终 help(n)+1 即为所求。

1
2
3
4

def findTheWinner(self, n: int, k: int) -> int:
    def help(n):
        return 0 if n==1 else (help(n-1)+k)%n
    return help(n) + 1

40 ms

#2

可以改写成递推的形式。

解答

1
2

def findTheWinner(self, n: int, k: int) -> int:
    return reduce(lambda x, y: (x+k)%y, range(2, n+1), 0) + 1

32 ms