0808：分汤（2396 分）

力扣第 808 题

题目

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

1. 提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
2. 提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
3. 提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
4. 提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。

当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。
对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作，B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示:

• 0 <= n <= 109​​​​​​​

分析

容易想到用递归，令 dfs(a, b) 代表初始汤 A、B 分别 a、b 毫升时对应的概率，即可递归。

问题在于 n 的范围较大，会超时。观察发现，当 n 够大时，结果会趋近于 1。

于是找到 n=5000 时，结果与 1 的差别不超过 10^-5，所以不需要计算 n>=5000 的情况。

解答

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def soupServings(self, n: int) -> float:
    @lru_cache(None)
    def dfs(a, b):
        if a==0 or b==0:
            return 0.5 if a==b==0 else int(a==0)
        return sum(dfs(max(0, a-(4-x)*25), max(0, b-x*25)) for x in range(4)) / 4
    return dfs(n, n) if n<5000 else 1.0

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