0552：学生出勤记录 II（★★）

力扣第 552 题

题目

可以用字符串表示一个学生的出勤记录，其中的每个字符用来标记当天的出勤情况（缺勤、迟到、到场）。记录中只含下面三种字符：

• 'A'：Absent，缺勤
• 'L'：Late，迟到
• 'P'：Present，到场

如果学生能够 同时 满足下面两个条件，则可以获得出勤奖励：

• 按 总出勤 计，学生缺勤（'A'）严格 少于两天。
• 学生 不会 存在 连续 3 天或 连续 3 天以上的迟到（'L'）记录。

给你一个整数 n ，表示出勤记录的长度（次数）。请你返回记录长度为 n 时，可能获得出勤奖励的记录情况 数量 。答案可能很大，所以返回对 109 + 7 取余 的结果。

示例 1：

输入：n = 2
输出：8
解释：
有 8 种长度为 2 的记录将被视为可奖励：
"PP" , "AP", "PA", "LP", "PL", "AL", "LA", "LL"
只有"AA"不会被视为可奖励，因为缺勤次数为 2 次（需要少于 2 次）。

示例 2：

输入：n = 1
输出：3

示例 3：

输入：n = 10101
输出：183236316

提示：

• 1 <= n <= 105

分析

最后一个字符有三种情况：

• 假如为 ‘A’，那么前面不能再有 ‘A’
• 假如为 ‘L’，那么前两个字符不能都为 ‘L’
• 假如为 ‘P’，前面的是子问题

那么令 dp[i][j][k] 代表

• 长度 i
• 有 j 个’A’
• 末尾有 k 个连续 ‘L’

条件下的数量，即可递归。最后 sum(dp[n][0])+sum(dp[n][1]) 即为所求。

还可以用滚动数组优化。并且因为 j 和 k 的范围很小，可以合并为一维数组。

解答

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def checkRecord(self, n: int) -> int:
    mod = 10**9+7
    dp = [1]+[0]*5
    for i in range(1, n+1):
        dp = [sum(dp[:3])%mod, dp[0], dp[1], sum(dp)%mod, dp[3], dp[4]]
    return sum(dp)%mod

772 ms

*附加

这是完全的线性递推关系，因此可以用矩阵快速幂优化。

注意在矩阵乘法时也取模即可。

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def checkRecord(self, n: int) -> int:
    def mpow(mat, n):
        res = mat
        for bit in bin(n)[3:]:
            res = res*res%mod
            if bit=='1':
                res = res*mat%mod
        return res

    import numpy as np
    mod = 10**9+7
    A = np.mat([[1,1,1,0,0,0],[1,0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0,0],
    [1,1,1,1,1,1],[0,0,0,1,0,0],[0,0,0,0,1,0]])
    dp = np.mat([[1],[0],[0],[0],[0],[0]])
    dp = mpow(A, n)*dp
    return int(np.sum(dp)%mod)

100 ms