0464：我能赢吗（★）

力扣第 464 题

题目

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过 100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家 不能 重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定两个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和 desiredTotal（累计和），若先出手的玩家能稳赢则返回 true ，否则返回 false 。假设两位玩家游戏时都表现 最佳 。

示例 1：

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11
输出：false
解释：
无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

示例 2:

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 0
输出：true

示例 3:

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
输出：true

提示:

• 1 <= maxChoosableInteger <= 20
• 0 <= desiredTotal <= 300

分析

典型的博弈问题：

• 为了方便，令 m=maxChoosableInteger，y=desiredTotal
• 先排除特殊情况 m*(m+1)//2<t，此时没有人达到 t，返回 False
• 否则，每个集合状态必然对应必胜或必败
• 令 dfs(st, s) 代表已选集合 st、已选之和 s 的情况下第一个玩家是否必胜
• 第一个玩家选了不在 st 中的 x 后，转为子问题 dfs(st|1«x,s+x)

解答

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class Solution:
    def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
        @cache
        def dfs(st,s):
            for x in range(m):
                if not st&1<<x:
                    if s+x+1>=t or not dfs(st|1<<x,s+x+1):
                        return True
            return False

        m,t = maxChoosableInteger, desiredTotal
        if m*(m+1)//2<t:
            return False
        return dfs(0,0)

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